[현대대수학] 2. 동형사상과 항등원

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]

 

1. 동형사상

 다음 표를 살펴보자.

[A First Course in Abstract Algebra](J. Fraleigh), 29p

 우리는 3.1 Table에서 $a$를 #으로, $b$를 弗로, $c$를 &로 바꾸면 곧바로 3.2 Table을 얻을 수 있다는 것을 관찰하게 된다.(LaTeX 수식입력기의 특성 상, 달러 기호를 사용할 수가 없다. 이에 3.2 Table의 달러 기호 대신 '아닐 불'자를 썼다는 것에 유의하기를 바란다.)

 

 그러면 과연 3.1 Table과 3.2 Table이 '같다'고 말할 수 있는가? 아니라면, 과연 '다르다'라고는 말할 수 있는가? 이들은 분명 서로 다른 집합 위의 서로 다른 이항연산이므로, 같다고 말할 수는 없을 것 같다. 하지만 그저 단순히 $a$를 #으로, $b$를 弗로, $c$를 &로 바꾸는 것만으로 3.1 Table에서 3.2 Table을 얻는다는 점에서, 무작정 다르다고 말하기에도 무리가 있다. 우리는 자연스럽게 두 Table은 구성요소의 '이름'만 바꾼 것일 뿐 '본질적으로' 같다, 라고 말한다. 그렇다면 그 '본질'은 어떻게 결정이 되는 것일까?

 

  이번 챕터에서는 이에 대한 답으로, 두 Table이 서로 '동형'이며 그들은 '구조적 성질'을 공유한다고 제시한다. 즉  3.1 Table의 이항연산과 그 집합에 의한 이항구조를 $(S, *)$이라 하고 3.2 Table의 이항연산과 그 집합에 의한 이항구조를 $(S', *')$라 하자. 그러면 두 이항구조 $(S, *)$와 $(S', *')$가 동형(isomorphic)이고 이를 $$(S, *)\simeq (S', *')$$로 나타내겠다는 것이다.

 

Def. 두 이항구조 $(S, *)$와 $(S', *')$가 주어졌다고 하자. 만약 일대일 대응(1-1 and onto)

 

$$\phi : S\longrightarrow S'$$

 

가 존재하여, $S$의 원소 $a, b$에 대해

 

$$\phi(a*b)=\phi(a)*' \phi(b)$$

 

라는 성질을 만족한다면(우리는 이 성질을 만족하는 사상을 homomorphism이라 부른다. 즉 isomorphism은 1-1 and onto인 homomorphism이다.)

 

(i) 주어진 일대일 대응 $\phi$를 $(S, *)$와 $(S', *')$ 사이의 동형사상(isomorphism)이라 부르고

(ii) $(S, *)$와 $(S', *')$는 동형(isomorphic)이라고 한다. 이를 간단히 $(S, *)\simeq (S', *')$로 나타내기로 하자.

 

 동형사상은 수학의 여러 분야에서 아주 중요하게 다뤄지는 개념이다. 한 눈에봐도 그 중요성이 느껴지지 않는가?

 

 동형사상이 중요한 가장 큰 이유 중 하나는 동형사상의 존재 덕분에 우리는 수많은 '구조'들에 대해 모두 연구하지 않고, 다루기 쉬운 '하나의 구조'만을 연구할 수 있기 때문이다.

 

 예를 들어 우리가 그 성질을 아주 판단하기 쉬운 이항구조 $(S, *)$가 주어졌다고 하자. 이 이항구조는 (가) 결합적이다, (나) 교환적이다, (다) $S$의 원소 $a, b$에 대해 $a*x=b$는 항상 해를 가진다, ...등과 같은 성질을 가지고 있다는 것을 쉽게 보일 수 있다고 하자.

 

이번에는 상대적으로 그 성질을 파악하기 어려운-예를 들면 집합의 원소가 매우 복잡하다던지 아니면 연산이 매우 복잡하게 정의되어 있다던지 하여-이항구조 $(S', *')$가 주어져 있다고 하자. 그러면 수학자들은 매우 자연스럽게(왜냐고 물어도 그냥, 이라는 답밖에는 해줄 말이 없다.) 이항구조 $(S', *')$역시 (가), (나), (다), ...와 같은 성질을 가지고 있는지를 궁금해 하게 된다. 우리는 $(S', *')$에 대해서 (가), (나), (다), ...를 모두 증명할 필요 없이 $(S, *)$와 $(S', *')$ 사이의 동형사상을 찾는 것만으로 $(S', *')$에서 (가), (나), (다), ...가 성립한다는 것을 확인할 수 있게 되는 것이다.

 

 물론 동형사상의 존재가 $(S, *)$의 모든 성질이 그대로 $(S', *')$로 옮겨진다는 것을 보장하는 것은 아니다. 몇몇개의 $(S, *)$ 성질들만이 동형사상의 존재에 의해 $(S', *')$로 옮겨지게 되는데, 이것을 우리는 '구조적 성질'(structural properties)라고 부른다. 위에서 소개한 (가), (나), (다)는 모두 구조적 성질이다.

 

 달리말하면, $(S, *)$와 $(S', *')$가 동형이 아님을 보이기 위해서는 한 구조에서는 성립하는 구조적 성질이 다른 구조에서는 성립하지 않는다는 것을 보이는 것으로 충분하다.

 

 이러한 유용성 때문에 동형사상은 두 이항구조 사이에서만 정의되는 것이 아니라 수학의 여러 분야에서 여러 구조를 대상으로 하여 정의된다.

 

2. 항등원

Def. 이항구조 $(S, *)$의 한 원소 $e$가 다음 식을 만족한다면, $e$를 항등원(identity)이라고 부른다.

 

$$e*a=a*e=a, \forall a\in S$$

 

ex) 이항구조 $(\mathbb{Z}, +)$에 대해 $0\in Z$는 항등원이다. $(\mathbb{R}, \cdot)$에 대해 $1\in\mathbb{R}$은 항등원이다.

 

위의 예시에서 알 수 있듯이, 이항구조의 항등원은 항상 유일하다.

 

Thm1. 이항구조 $(S, *)$가 항등원을 가지면, 유일한 항등원을 가진다.

$proof$ 아니라고 해보자. 그러면 서로 다른 항등원 $e_1, e_2$가 존재한다. 항등원의 정의에 의하여

 

$$e_1*e_2=e_1=e_2$$

 

이므로 모순이다. 따라서 항등원은 존재한다면 유일하다.

 

 또, 서로 동형인 이항구조에서 항등원은 항등원으로 사상된다.

 

Thm2. 이항구조 $(S, *)$가 항등원 $e$를 가진다고 하자. 이항구조 $(S', *')$에 대해, 두 이항구조 사이에 동형사상 $\phi: S\longrightarrow S'$가 존재한다면 $\phi (e)$는 $(S', *')$의 항등원이다.

$proof$ 동형사상 $\phi$는

 

$$\phi(a*b)=\phi(a)*' \phi(b)$$

 

를 만족하는 일대일 대응이므로, 임의의 $S$의 원소 $a$에 대해

 

$$\phi(e*a)=\phi(a)=\phi(e)*'\phi(a)=\phi(a*e)=\phi(a)*'\phi(e)$$

 

이다. 따라서 $\phi(e)$는 $(S', *')$의 항등원이다.

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이번 포스팅에서는 아주 중요한 개념인 동형사상에 대해 알아본 뒤 항등원에 대해 알아보았습니다.

 

다음 포스팅에서는 군(group)에 대해 알아보며 본격적으로 현대대수학을 공부하게 됩니다.

 

아직 미숙하고 배울 것이 많은 학생입니다. 오류, 오타 지적은 댓글에 남겨주시면 감사하겠습니다.