[현대대수학] 3. 군

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]
 
1. 군
Def. 이항구조 $(G, *)$가 주어져있다고 하자. 이 이항구조는 다음 세 가지를 만족할 때 군(group)이라고 부른다.
 
(i) $*$는 결합적이다. 즉, $G$의 임의의 원소 $a, b, c$에 대하여 $(a*b)*c=a*(b*c)$가 성립한다.
(ii) 항등원 $e\in G$를 가진다.
(iii) 모든 $a\in G$에 대하여 $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$를 만족시키는 $a^{-1}\in G$가 존재한다. 이때 $a^{-1}$을 $a$의 역원(inverse)이라고 부른다.
 
편의를 위해, 오해의 여지가 없는 경우에는 군 $(G, *)$를 간단히 $G$라고 나타내기도 한다.
 
 지금까지 공부한 것에 의하면, 군이 무엇인지 이해하기는 어렵지 않다. 군은 결합적인 이항연산이 주어진 항등원과 역원이 존재하는 이항구조이다. 그런데 왜 뜬금없이 이러한 정의가 나타난 것이고, 이것이 왜 중요한 것일까? 밑도끝도 없이 그저 정의만 툭 내놓는다면 왜 '군'이 정의되어야 하는지에 대해 공감하기 어렵다.
 
 군론의 역사는 갈루아(E. Galois)에 의해 시작되었다. 모처에서 현대대수학을 1년간 공부하는 까닭은 그 끝에서 갈루아 이론을 이해하기 위함이라는 말을 들은 적이 있다. 갈루아는 고차 다항 방정식의 근에 대해 연구하는 도중 '군' 개념의 필요성을 느끼게 되었다고 한다.
 
 우리는 일차방정식, 이차방정식의 근의 공식을 아주 잘 알고 있다. 중고등학교 수학 시간에 수없이 많은 방정식을 풀어보았기 때문이다. 여기에서 한 발짝 나아가, 수학에 흥미를 느낀 몇몇 학생들은 삼차방정식의 근의 공식 역시 존재한다는 것을 알고 있을 것이다. 그렇지만 사차방정식 역시 일반적인 근의 공식을 가지고 있다는 것을 알고 있는 사람은 드물다. 그렇지만 존재한다. 즉 우리는 일, 이, 삼, 사차 다항 방정식은 그것이 어떻게 주어지든 항상 (복소수 범위에서) 해를 구할 수 있다. 그러나 방정식의 차수가 조금 더 올라가, 오차 이상이 된다면 그것의 해를 구하는 일반적인 근의 공식을 찾을 수 없다. 이것이 갈루아의 커다란 발견으로, 그는 군론을 이용하여 이 문제를 해결하였다. 더 정보를 얻고 싶다면 아래 링크를 참고하면 된다.
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois

Évariste Galois - Wikipedia

혹은 다음 링크를 보아도 좋을 것 같다.
https://namu.wiki/w/%EC%97%90%EB%B0%94%EB%A6%AC%EC%8A%A4%ED%8A%B8%20%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84
 
 이제 '군'을 정의할 필요성을 다시 한 번 생각해보자.
 
 집합 $G$와 그 위에 정의된 이항연산 $*$에 대해서 가장 간단한 방정식
 
$$a*x=b$$
 
를 생각해보자. 물론 $a, b$는 $G$의 원소이다. 예시를 든다면, 자연수의 집합 $\mathbb{N}$과 덧셈 $+$에 대해 $5+x=2$와 같은 방정식 말이다. 그렇다면 이 방정식은 $\mathbb{N}$안에서 해를 가지는가?
 
 우리는 쉽게 '아니'라고 말할 수 있다. 따라서 $(\mathbb{N}, +)$라는 이항구조는 '방정식의 해를 구할 수 있는 구조'라고 말하지 않는다.
 
 이번에는 집합 $\mathbb{Z}$에 대해 방정식 $5+x=2$를 생각해본다면, 이 방정식은 $\mathbb{Z}$안에서 해를 가진다. 심지어 임의의 정수 $m, n$에 대하여 $m+x=n$은 항상 해를 가진다. 그렇다면 우리가 이 방정식의 해를 구할 수 있는 이유는 무엇인가? 우리가 일반적으로 생각하는 풀이는 다음과 같다.
 
\begin{align} &\Rightarrow 5+x=2\\ &\Rightarrow (-5)+(5+x)=(-5)+2\\ &\Rightarrow (-5+5)+x=-3\\ &\Rightarrow 0+x=-3\\ &\Rightarrow x=-3\\ \end{align}
 
 잘 관찰하면, 이러한 방정식의 풀이는 결국 '군'의 세 성질인 연산에 대한 결합법칙, 항등원의 존재성, 역원의 존재성이 전제되어야 가능함을 알 수 있다. 군 안의 일차방정식은 해결이 가능하고, 일차방정식이 해결되려면 그것이 군 안에서 정의되어야 한다. 결국 군이란 일차방정식의 해를 구할 수 있는 구조를 이르는 것임을 이해하게 된다. 따라서 위의 예시에서 $(\mathbb{N}, +)$는 군이 아니고 $(\mathbb{Z}, +)$는 군이다. 직접 군의 정의가 성립하는지 확인해보자.
 
 이를 잘 생각해본다면, '일차방정식의 해의 존재성'은 군 $G$의 '구조적 성질'(structural property)임에 이의를 제기하지 않을 것이다. 이것은 직접 증명해볼 수 있다(이번학기 과제 문제 중 하나였다).
 
2. 가환군
Def. 군 $G$가 교환법칙이 성립하는 이항연산 $*$을 가진다면, 그 군을 가환군(Abelian group)이라고 한다. 즉, 이항연산 $*$에 대해
 
$$a*b=b*a$$
 
이면 $G$는 가환군이다. 여기서 $a, b$는 물론 $G$의 원소이다.
 
3. 몇 가지 성질들
Prop1. 항등원은 유일하게 존재한다.
$proof$ 저번 포스팅에서 증명하였다.
 
Prop2. 역원은 유일하게 존재한다.
$proof$ 항등원의 유일성과 비슷하게 증명하면 된다. $G$의 원소 $a$에 대해, $a^{-1}$과 $(a^{-1})'$이 서로 다른 역원이라고 하자. 그러면
 
$$(a^{-1}*a)*(a^{-1})'=e*(a^{-1})'=(a^{-1})'=a^{-1}*(a*(a^{-1})')=a^{-1}*e=a^{-1}$$
 
이므로 모순이다. 따라서 역원은 유일하게 존재한다.
 
Prop3. 좌우 소거법을 적용할 수 있다. 즉, $a, x, y\in G$에 대해 다음이 성립한다.
 
$$\begin{cases} &a*x=a*y\Rightarrow x=y\\ &x*a=y*a\Rightarrow x=y \end{cases}$$
 
$proof$ 좌우에 $a$의 역원을 연산해주면 간단하게 해결할 수 있다.
 
Thm. $(G, *)$이 군이 될 필요충분조건은 다음과 같다.
(i) $*$가 결합적이다.
(ii) 좌항등원 $e\in G$이 존재하여 $e*a=a$가 성립한다. 물론 $a\in G$이다.
(iii) $a\in G$에 대해 좌역원 $a'$이 존재하여 $a'*a=e$이다.
$proof$ 충분조건임은 자명하다. 필요조건임을 보이자. (i)은 고려하지 않아도 좋다. 따라서 우리가 보여야 할 것은 $e$가 $G$의 항등원이고 $a\in G$에 대해 $a'=a^{-1}$이라는 것이다.
 
$$\begin{cases} (a'*a)*e&e*e=e\\ a'*(e*a)&a'*a=e\end{cases}$$
 
에서 $a'*a*e=a'*e*a$를 얻는다. $a''$를 $a'$의 좌역원이라고 하면, 이 식의 좌측에 $a''$를 연산하여
 
\begin{align} a''*a'*a*e&=a''*a'*e*a\\ \Rightarrow e*a*e&=e*e*a\\ \Rightarrow a*e&=e*a=a\end{align}
 
를 얻는다. 따라서 좌항등원은 $G$의 항등원이다. 다음으로
 
\begin{cases} (a''*a')*a*a'&=e*a*a'=a*a'\\ a''*(a'*a)*a'&=a''*e*a'=a''*a'=e\end{cases}
 
에서 $a*a'=e$를 얻는다. 따라서 $a'=a^{-1}$이다.
 
증명을 보면 알겠지만, 이 정리는 우항등원과 우역원에 대해서도 성립한다.

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이번 포스팅에서는 군의 정의와 그 유래에 대해 간단하게 알아보고, 가환군이 무엇인지 그리고 군의 몇 가지 성질에 대해서도 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 부분군에 대해 알아보고 순환군 맛보기에 들어갈 것 같습니다.
 
아직 미숙하고 배울 것이 많은 학생입니다. 오류, 오타 지적은 댓글에 남겨주시면 감사하겠습니다.