목록학부 수학/현대대수학 (21)
Vita
Galois Theory (2). Isomorphism Extension Theorem
이제 점점 Galois Theory의 핵심으로 들어간다. 언제나, 우리가 관심있는 대상이 $F$의 확대체 $K$에 대해 $F$를 고정하는 $K$에서의 automorphism임을 기억해두어야 한다.먼저 Extension Theorem을 소개한다.$\textbf{Theorem 2.1}$체 $F$의 한 algebraic extension $E$를 생각하자. $\sigma : F \rightarrow F'$가 isomorphism이라 하자. $F'$의 algebraic closure $\overline{F'}$에 대해, $\sigma$는 $E$에서 $\overline{F'}$의 어떤 subfield로의 isomorphism $\tau$로 'extend' 될 수 있다. 이때 $\tau$가 $\sigma$의 ext..
Galois Theory (1). Conjugate Isomorphism Theorem
https://whitemask.tistory.com/184 Galois Theory: Preview: The Main Theorem 이번 학기 공부한 현대대수학 내용을 스스로 정리하려 올리는 포스팅입니다. Fraleigh의 'Abstract Algebra'로 공부하였으며, Section 48~Section 56의 내용이 메인입니다. 사실 수학과에 진학하고 싶었던 것 whitemask.tistory.com 에 이어... 우리의 관심사가 방정식의 근임을 기억하고 있어야 한다. 체 $F$에 대해 $f(x)\in F[x]$의 근은 $F$의 원소일 수도, 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 $F=\mathbb{Q}$인 경우, $x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$의 근은 $\mathbb{Q}$안에 있지 않다..
Galois Theory: Preview; The Main Theorem
이번 학기 공부한 현대대수학 내용을 스스로 정리하려 올리는 포스팅입니다. Fraleigh의 'Abstract Algebra'로 공부하였으며, Section 48~Section 56의 내용이 메인입니다. 사실 수학과에 진학하고 싶었던 것이 Galois Thoery를 공부하고 싶어서였는데, 부족하게나마 이해를 한 것 같습니다. 아직 갈 길이 멀지만... Galois Theory는 군과 체 사이의 대칭을 설명하는 이론이다. 이때 '어떤' 군과 '어떤' 체 사이의 대칭에 관심있는지 주목해야 한다. Galois Theory의 핵심은 이 글에서 설명하는 Main Theorem인데, 이를 이해하기 위한 여러 개념들에 앞서 정리를 먼저 소개하는 것이 좋겠다는 생각이 들었다. 대수학은 방정식의 근을 탐구하는 학문이라고 ..
Fraleigh 5판? 아마도? 현재까지 최신판 문제입니다. 나름대로 풀이를 하였으니 참고하실 분이 있다면 참고해주세요.
[현대대수학] Field Extension (1)
이번 포스팅은 Field Extension의 내용 중 일부입니다. Field Extension을 정의하게 된 동기에서 시작하여, Kroneker's Thm을 증명해 F의 extension E를 얻게되는 과정을 설명합니다.이후 자연스레 extension E의 원소를 algebraic element와 transcendental element로 구분해야 함을 설명합니다. 또, 대수학에서 습관적으로 정의하는 '가장 작은 extension field'를 설명하며 simple extrnsion을 도입합니다. simple extension을 분류하는 과정에서 alg.인지 trans.인지가 중요하게 작용함을 설명합니다.이후 vector space의 개념을 도입해 finite extension을 소개하고, 그 basis..
[현대대수학] Sylow Theory
현대대수학에서 가장 중요한 정리 중 하나일 Sylow Theorems의 증명입니다. Group Action의 응용으로 isotropy subgroup과 orbit에 대한 정리를 활용하는 것이 핵심입니다. 증명을 하기 위해서 어떤 군 G와 G-set을 잡을지, 그리고 action을 어떻게 줄 지 고민하는 것이 필요합니다. Preview에서는 Sylow Theorems의 의의에 대해 적어두었습니다. 활용에 대해서는 따로 글을 올리려고 합니다.
