[현대대수학] 1. 이항연산과 이항구조

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]

 

1. 이항연산(Binary Operation)

 연산이란 무엇일까? 우리는 '연산'이라는 말을 들을 때 가장 먼저 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 떠올리고는 한다. 이뿐 아니라 컴퓨터가 입력된 코드를 따라 결과를 내놓는 과정을 연산을 수행한다, 라고 이야기하기도 한다. 이처럼, 우리는 연산을 무언가 계산을 수행하는 것이라고 이해하고 있다.

 

 연산은 기본적으로 함수이다. 우리가 다룰 이항연산 $*$은 두 가지 입력 $(a, b)$를 하나의 결과값 $a*b$으로 대응하는 함수인 것이다.

 

Def. 집합 $S$에 주어진 이항연산 $*$은 다음과 같은 함수

 

$$* : S\times S \longrightarrow S $$

 

이다. 이를 간단히 $(a, b)\mapsto a*b$로 쓴다.

 

ex) $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$에 주어진 덧셈 $+$는 그 위의 이항연산이다. 그러나 $\mathbb{N}$에 주어진 뺄셈 $-$는 그 위의 이항연산이 아니다.

 

 앞으로 우리가 자주 사용할 용어 중, '닫힘'이라는 개념이 있다. 어떤 집합 $S$가 그 위에 주어진 이항연산 $*$에 대해 닫혀있다는 것은 $S$의 어떠한 두 원소의 연산결과도 다시 $S$의 원소가 된다는 것이다.

 

Def. 집합 $S$ 위에 주어진 이항연산 $*$를 생각하자. $S$의 한 부분집합 $H$에 대하여,

 

$$*|_{H\times H}: H\times H\longrightarrow H$$

 

를 생각하자. $*|_{H\times H}$의 상 $I(*|_{H\times H}):=\left\{a*b\in H | a, b\in H\right\}$이 $H$의 부분집합일 때, 집합 $H$가 주어진 이항연산 $*$에 대해 닫혀있다고 말한다.

 

ex) $\mathbb{N}$는 덧셈에 대해 닫혀있다. $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 역시 마찬가지이다. 그러나 $\mathbb{N}$은 뺄셈에 대해 닫혀있지 않다.

 

2. 이항구조(Binary Structure)

 수학을 하다보면, '공간'이라는 단어를 굉장히 많이 마주하게 된다. 예를 들어 좌표공간, 벡터공간, 내적공간, 노름공간, 위상공간 등이 그것이다.

 

 이러한 '~공간'은 모두 어떤 집합에 특정한 '성질' 혹은 '연산'이 주어진 것을 의미하는데, 수학이 다루는 것은 바로 특정 집합에 특정 구조 혹은 연산이 주어졌을 때 그 집합이 어떻게 작동하는지이다. 예를 들어 벡터공간은 특정한 집합이 우리가 물리학에서 흔히 알고있는 '벡터'의 몇 가지 성질을 만족하는 상황을 이야기하고, 이에 대해 다루는 것이 선형대수학이다. 위상공간은 특정한 집합에 '열린집합'과 '닫힌집합'이 잘 정의되었을 때의 상황을 생각하고, 이에 대해 다루는 것이 위상수학이다.

 

 이항구조는 이러한 '~공간'과 비슷한 개념으로, 어떤 집합 $S$에 이항연산 $*$이 주어진 상황을 이야기한다. 이것을 간단히 $(S, *)$로 나타내며, 그 의미는 '집합 $S$에 이항연산 $*$이 주어졌다'이다.

 

Def. 집합 $S$ 위에 주어진 이항연산 $*$은

(i) 결합적이다 $\iff$ $(a*b)*c=a*(b*c)$

(ii) 교환적이다 $\iff$ $a*b=b*a$

 

여기서 물론 $a, b, c$는 집합 $S$의 원소이다.

 

 이항연산은 그 결과를 간단하게 표로써 정리할 수 있다.

[A First Course in Abstract Algebra](J, Fraleigh) 29p

여기서 주의할 것은 3.1 Table에서 1번째 행이 $a$, 3번째 열이 $c$일 때 1행 3열의 원소 $b$는 $a*c=b$로 정해진다는 것이다. 이것을 잊지 말아야 한다.

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이번 포스팅에서는 이항연산과 이항구조가 무엇인지에 대해 알아보았습니다. 첫 번째 챕터에서 우리가 이해해야 할 첫 번째 난관은 동형사상(isomorphism)인데, 이항연산과 이항구조에 대해 이해하는 것은 그 첫걸음이 됩니다.

 

다음 포스팅에서는 동형사상에 대해 알아보겠습니다.

 

아직 미숙하고 배울 것이 많은 학생입니다. 오류, 오타 지적은 댓글에 남겨주시면 감사하겠습니다.