[선형대수학] 3. 기저$(Basis)$

[본 포스팅은 서울대학교 23-1학기 '선형대수학1', 김도형 교수님의 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]
 
Def. "Basis"
벡터공간 $V$의 한 부분집합 $\beta\subset V$가 linear indp.이고 $V$를 생성하면, $\beta$를 $V$의 기저(basis)라고 한다.
$cf)$ 영벡터공간 $V=\left\{0\right\}$의 기저는 공집합이다.
 
ex) $V=\mathbb{R}^n$라고 하자. $1\le i\le n$인 $i$에 대해, $i$번째 자리에 있는 것만 0이 아닌 벡터 $e_i$가 다음과 같이 있다.
 
$$e_i=(0, 0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)$$
 
이때 $\beta=\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$는 $V$의 기저이다.
 
 다음 정리는 기저벡터의 특징을 잘 설명해준다.
 
Thm. 벡터공간 $V$와, 그 안의 서로 다른 원소 $u_1, u_2, \cdots, u_n\in V$를 생각하자. $\beta=\left\{u_1, u_2, \cdots, u_n\right\}$가 $V$의 기저일 필요충분조건은 임의의 $v\in V$를 $\beta$의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 유일하다는 것이다.

proof. $(\Rightarrow)$ $\beta=\left\{u_1, u_2, \cdots, u_n\right\}$가 $V$의 기저라고 하자. $\mbox{span}\beta=V$이므로 임의의 $v\in V$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 
$$v=a_1 u_1+\cdots+a_n u_n$$
 
 이제 그 방법이 유일함을 보이자. 만약
 
$$v=a_1 u_1+\cdots+a_n u_n=b_1 u_1+\cdots b_n u_n$$
 
이라면 $(a_1-b_1)u_1+\cdots (a_n-b_n)u_n=0$인데, $\beta$가 linearly indp.이므로 모든 $i$에 대해 $a_i=b_i$이므로, 임의의 $v\in V$를 $\beta$의 일차결합으로 나타내는 방법은 유일함을 알 수 있다.
 
$(\Leftarrow)$ 임의의 $v\in V$를 $\beta$의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 유일하다고 하자. 그러면 $\beta$가 $V$를 생성함은 명백하다. $V$가 벡터공간이므로, $0\in V$인데,
 
$$0=c_1 u_1+\cdots c_n u_n$$
 
으로 나타낼 수 있고 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$은 하나의 해이다. 그런데 어떤 벡터를 $\beta$의 일차결합으로 나타내는 방법이 유일하므로, 이 해는 유일한 해이다. 따라서 $\beta$는 linearly indp.이다.
 
 우리는 지금까지 벡터공간 $V$를 생성하는, 일차독립인 벡터들의 집합을 기저라고 하고 그 기저가 존재할 때 벡터공간의 임의의 원소를 기저의 원소의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있음을 알게 되었다.
 그런데, 이러한 논의는 기저가 존재해야 이루어질 수 있다. 우리가 쉽게 생각 할 수 있는 벡터공간의 예시는 기저를 가지고 있음을 확인할 수 있지만, 모든 벡터공간이 기저를 가지고 있다는 것은 아직 확신할 수 없는 명제이다. 다음 정리는 벡터공간을 생성하는 집합이 있을 때, 그 집합의 부분집합 중에는 벡터공간을 생성하는 linearly indp.인 집합, 즉 기저가 존재함을 보장해준다. 임의의 벡터공간이 기저를 가지고 있음은 잠시 후에 증명하도록 하자.
 
Thm. 벡터공간 $V$가 유한집합 $S$에 의해 생성된다고 하자. 그러면 $S$의 부분집합 중에는 $V$의 기저가 존재한다.
 
 이를 증명하기 위하여, 먼저 두 가지 보조정리를 알아야 한다. 순서대로 아래와 같다.
 
Lemma 1. 벡터공간 $W$와 linearly indp.인 $\gamma\subset W$를 생각하자. 임의의 $v\in W-\mbox{span}\gamma$에 대해, $\gamma\cup\left\{v\right\}$는 linearly indp.이다.

proof. $\gamma=\{u_1, \cdots, u_n\}$라 하자. $\gamma$는 linearly indp.이므로,
 
$$ a_1 u_1+\cdots+a_n u_n=0 \iff a_1=\cdots=a_n=0$$
 
이 성립한다. 임의의 $v\in W-\text{span}\gamma$에 대해 $\gamma\cup\{v\}$는 linearly indp.임을 보이려면
 
$$a_1 u_1+\cdots+a_n u_n+a_{n+1}v=0\;\;\; \text{if and only if}\;\;\; a_1=\cdots=a_n=a_{n+1}=0$$
 
임을 보여야 한다. 이때 $a_1 u_1+\cdots+a_n u_n+a_{n+1}v=0 \Rightarrow a_{n+1}=0$임을 보이면 된다. $a_{n+1}\ne 0$이라고 가정하자. 그러면
 
$$v=-\frac{a_1}{a_{n+1}}u_1+\cdots-\frac{a_n}{a_{n+1}}u_n$$
 
이므로 $v\in\mbox{span}\gamma$이고, 이는 $v\in W-\mbox{span}\gamma$라는 $v$의 선택에 모순이다. 따라서 $\gamma\cup\left\{v\right\}$는 linearly indp.이다.
 
Lemma 2. 벡터공간 $W$의 한 부분집합 $B\subset W$를 생각하자. 이때 다음이 성립한다.
 
$$\text{span}(\text{span}B)=\text{span}B$$