Orthy

Definition. A point singularity of a function $f$ is a complex number $z_0$ such that $f$ is defined in a neighborhood of $z_0$ but not at the point itself. We also call such point isolated singularity, since that one is the only point satisfying such properties in its neighborhood. By its definition, the singularity is a local property.A holomorphic function can have three different types of si..

[1]의 Chapter 3의 첫 세 개 섹션에서는 복소함수의 특이점에 대한 논의하는데, 복소함수의 특이점에 대한 분석은 [1]에서와 같이 각 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하는 방법 그리고 [2]나 [3]에서처럼 복소함수의 로랑급수 전개를 이용하는 방법이 있다. 먼저 [1]의 논의를 그대로 따라가며 세 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하고, 그 뒤 [2]와 [3]을 따라가며 복소함수의 로랑급수 전개를 증명한 뒤 로랑급수와 특이점 사이의 관계를 밝히고자 한다. 먼저, [1]에서 소개한 key-hole과 같은 toy contour, 소위 장난감 경로의 사용을 최대한 자제하기 위하여 그린 정리를 이용하여 코시 정리와 코시 적분공식을 일반화하자. 이는 명확하게 정의되지 않은 대상인 toy conto..

Definition. Given a sequence $\{a_n\}$ of complex numbers, we say that the product $$\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)=\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N(1+a_n)$$ converges if the limit of the partial product exists.Theorem. If $\sum|a_n|The theorem above is a necessary condition that guarantees the existence of a product.proof. If $1+a_k=0$ for some $k$ then the product is $0$, obviously. Now suppose $1+..

Definition. Let $f$ be an entire function. If the following set $$G_f=\{\rho>0\;:\;\exists\; A, B>0\;\operatorname{such\;that}\;|f(z)|\le Ae^{B|z|^\rho},\;\forall\;z\in\mathbb{C}\}$$is nonempty, we define $\rho_f=\inf G_f$ and call $\rho_f$ the order of growth of $f$. If $G_f$ is empty then we define the order of growth of $f$ to be $\infty$. For example, the growth rate of constant function ..

지금까지 TeX으로 작성한 내용을 tistory 블로그에도 그대로 옮긴다. 네이버 블로그와는 달리 tistory는 TeX을 지원해 그대로 복사-붙여넣기만 하면 글 작성이 완료되어 무척 편리하다. 지난달에 다녀온 휴가를 전후로 하여 약 3주간 영화에 빠져 공부를 잠시 소홀히 하였는데, 다시 고삐를 쥐고 공부에 힘을 쏟아야겠다. 우리는 가장 먼저, 주어진 전해석함수의 근의 분포에 대한 질문을 던진다. 지금까지 공부한 복소해석학의 결과를 이용하면 전해석함수 $f$의 근이 정확히 어떤 값인지 모두 찾아내기는 어려워도, $f$의 근이 원점을 중심으로하는 주어진 반지름 $R$ 안의 근방에서 몇 개나 존재하는지는 알 수 있다. 이를 위해 다음 정리를 증명하고, 그 따름정리로 zero-counting function ..