STEIN7 [복소해석학] 5.5. Hadamard's factorization theorem Theorem 1. Suppose $f$ is entire and has growth order $\rho_0$. Let $k$ be the integer so that $k\le\rho_0 $$f(z)=e^{P(z)}z^m\prod_{n=1}^\infty E_k(z/a_n)$$where $P$ is a polynomial of degree$\le k$, and $m$ is the order of the zero of $f$ at the origin.Theorem 1은 [1]에 소개된 Hadamard's factorization theorem이다. 앞으로 Hadamard's factorization theorem을 HFT로 줄여 말하자. [3]에서는 HFT를 더 상세하게 설명하고 증명의 흐름 또한 개선되.. 2025. 5. 17. [복소해석학] 5.4. Weierstrass infinite product Theorem 1.Given any sequence $\{a_n\}$ of complex numbers with $|a_n|\to\infty$ as $n\to\infty$, there exists an entire function $f$ that vanishes at all $z=a_n$ and nowhere else. Any other such entire function is of the form $f(z)e^{g(z)}$ where $g$ is entire.Here we need to consider the multiplicities of the zeros. Suppose $\{z_1, z_2,\cdots\}$ is the set of zeros in question where $m_k$ is th.. 2025. 5. 16. [복소해석학] 3.1. Zeros and poles Definition. A point singularity of a function $f$ is a complex number $z_0$ such that $f$ is defined in a neighborhood of $z_0$ but not at the point itself. We also call such point isolated singularity, since that one is the only point satisfying such properties in its neighborhood. By its definition, the singularity is a local property.A holomorphic function can have three different types of si.. 2025. 5. 11. [복소해석학] 3.0. Preface [1]의 Chapter 3의 첫 세 개 섹션에서는 복소함수의 특이점에 대한 논의하는데, 복소함수의 특이점에 대한 분석은 [1]에서와 같이 각 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하는 방법 그리고 [2]나 [3]에서처럼 복소함수의 로랑급수 전개를 이용하는 방법이 있다. 먼저 [1]의 논의를 그대로 따라가며 세 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하고, 그 뒤 [2]와 [3]을 따라가며 복소함수의 로랑급수 전개를 증명한 뒤 로랑급수와 특이점 사이의 관계를 밝히고자 한다. 먼저, [1]에서 소개한 key-hole과 같은 toy contour, 소위 장난감 경로의 사용을 최대한 자제하기 위하여 그린 정리를 이용하여 코시 정리와 코시 적분공식을 일반화하자. 이는 명확하게 정의되지 않은 대상인 toy conto.. 2025. 5. 11. [복소해석학] 5.3. Infinite product Definition. Given a sequence $\{a_n\}$ of complex numbers, we say that the product $$\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)=\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N(1+a_n)$$ converges if the limit of the partial product exists.Theorem. If $\sum|a_n|The theorem above is a necessary condition that guarantees the existence of a product.proof. If $1+a_k=0$ for some $k$ then the product is $0$, obviously. Now suppose $1+.. 2025. 5. 11. [복소해석학] 5.2. Functions of finite order Definition. Let $f$ be an entire function. If the following set $$G_f=\{\rho>0\;:\;\exists\; A, B>0\;\operatorname{such\;that}\;|f(z)|\le Ae^{B|z|^\rho},\;\forall\;z\in\mathbb{C}\}$$is nonempty, we define $\rho_f=\inf G_f$ and call $\rho_f$ the order of growth of $f$. If $G_f$ is empty then we define the order of growth of $f$ to be $\infty$. For example, the growth rate of constant function .. 2025. 5. 11. 이전 1 2 다음 반응형