연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수의 존재 증명

7월 초 Stein, [Complex Analysis]의 Chpter 6, 7을 통해 Analytic Number Theory를 맛보기 한 다음 7월 둘째 주부터 Stein, [Fourier Analysis]를 공부하고 있다. 군에 들어와 PMA 복습, Topology, Complex Analysis를 하며 해석학에 익숙해지다 보니 지금 공부하는 푸리에 급수 부분은 무척 쉽게 느껴진다. 이번 글은 Chapter 4의 '푸리에 급수의 활용' 중 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수의 존재 증명을 참고하여 작성하였다.
 
Chapter 4에는 내가 고등학생 때 무척 관심있게 공부했던 Isoperimetric inequality의 증명과 Weyl's equidistribution theorem에 대한 증명이 모두 실려있다. 부족한 실력으로 인터넷을 뒤적이며 끙끙댔던 것을 생각하면, 푸리에 급수를 이용할 때 문제가 무척 쉽게 해결되는 게 신기하지만 한편으로는 조금 더 일찍 전문적인 대학 수학을 접했더라면, 하는 아쉬움이 크다.
 
다음 주 월요일, 그러니까 7월 28일이면 어느새 전역을 한다. 군에 들어와 힘든 점이 많았지만, 중독적 컨텐츠로부터 떨어져 혼자 공부하는 습관을 다시금 기를 수 있었던 것을 감사하게 생각하고 있다. 입대해서 공부한 수학, 다시 한번 다잡은 마인드를 가지고 올해 하반기에 수학 공부와 실질적 활용 / 응용에 대한 공부를 통해 내년에 복학해서는 더 재밌게 학교를 다녀야겠다는 생각을 한다.
 
8월 말에 5주간 혼자서 중앙아시아로 여행을 가는데, 그전에 지금 보고 있는 [Fourier Analysis] 교재를 끝내야 한다. 그래서 요즘 공부를 무척 열심히 하고 있어 글을 쓸 시간이 없었다. 하지만 전역이 얼마 남지 않아 공부도 손에 잘 잡히지 않아 오랜만에 티스토리에 글을 하나 올린다.

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Cauchy 이후 해석학이 엄밀히 정의되면서, 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능 함수가 존재하는지에 대해서 여러 학자들의 의견이 있었다. 가장 먼저 돌파구를 제시한 사람 중 한 명은 B. Riemann으로, 1861년 Riemann은 theta 함수에 대한 연구를 통해

 $$R(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n^2 x)}{n^2}$$

이 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수일 것으로 추측했으나 정확한 증명은 남기지 않았다. 처음으로 연속이지만 미분 불가능 함수가 존재한다는 것을 밝힌 것은 K. Weierstrass로, 1872년 Weierstrass는 1보다 큰 정수 $a$와 $0<b<1$인 실수 $b$에 대해 $ab>1+3\pi/2$라면

 $$W(x)=\sum_{n=1}^\infty b^n\cos(a^n x)$$

가 모든 점에서 미분 불가능임을 밝혔다. Riemann이 제시한 함수 $R(x)$의 경우에는, 1916년 G. Hardy가 $\pi$의 무리수배 그리고 특정 유리수배에서 미분 불가능함을 밝혔고 1969년 Gerver에 의해 모든 점에서 미분 불가능임이 증명되었다.

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In this article, we prove the following theorem.

Theorem 1. If $0<\alpha<1$, then the function
 
$$f_\alpha(x)=f(x)=\sum_{n=0}^\infty 2^{-n\alpha} e^{i2^nx}$$
 
is continuous but nowhere differentiable.

The continuity comes from the uniform continuity of the series. Let $S_N(x)$ denotes the partial sum from $0$ to $N$ then for $N<M$ which are large,

\begin{align*}
    |S_M(x)-S_N(x)|&=\Bigg|\sum_{n=N+1}^M 2^{-n\alpha}e^{i2^nx} \Bigg|\\
    &\le \sum_{n=N+1}^M |2^{-n\alpha}|=\sum_{n=N+1}^M\left(\frac{1}{2^\alpha}\right)^n<\epsilon
\end{align*}

so the sequence of partial sums is an uniform Cauchy sequence. Since a sequence of continuous functions converges to a continuous function if the convergence is uniform, $f_\alpha=f$ is continuous.

The crucial property of $f$ which we need is that it has many vanishing Fourier coefficients. A Fourier series that skips many terms, like the one given above, or like $W(x)$, is called a lacunary Fourier series. Let $a_n$ be the $n^{\text{th}}$ Fourier coefficients of $f_\alpha=f$. Then

\begin{align*}
    a_n&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{inx} dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=0}^\infty 2^{-k\alpha}e^{i2^kx} \right)e^{-inx} dx\\
    &=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^\infty\int_{-\pi}^{\pi} 2^{-k\alpha}e^{i(2^k-n)x} dx\\
    &=\begin{cases}
        n^{-\alpha} & \text{if}\;\; n=2^k\;\;\text{for}\;\;k=0, 1, 2, \cdots \\
        0 & \text{otherwise}
    \end{cases}
\end{align*}

Here, we can interchange the integral and the sum since $\sum 2^{-k\alpha}e^{i2^kx}$ converges uniformly.

To prove the theorem, we introduce the delayed means $\Delta_N(g)$ which is defined by

$$\Delta_N(g)=2\sigma_{2N}(g)-\sigma_N(g)$$

where $\sigma_N(g)$ is the $N^{\text{th}}$ Cesaro sum. From $\sigma_N(g)=g*F_N$ for the Fejer kernel $F_N$, we have

$$\Delta_N(g)=g*(2F_{2N}-F_N)$$

from the linearity of convolution. Note, for the Cesaro sum $\sigma_N(g)$ we have

\begin{align*}
    \sigma_N(g)&=g*F_N=g*\left(\frac{D_{N-1}(g)+\cdots+D_0(g)}{N}\right)\\
    &=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} S_n(g)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{|k|\le n} a_ne^{inx}\\
    &=\frac{1}{N}\left[Na_0+\cdots+a_{N-1}e^{i(N-1)x}+a_{-(N-1)}e^{-i(N-1)x} \right]\\
    &=\frac{1}{N}\sum_{|n|\le N}\left(N-|n|\right)a_n e^{inx}=\sum_{|n|\le N}\left(1-\frac{|n|}{N}\right)a_n e^{inx}
\end{align*}

From this, we can prove that

$$S_N(f)=\Delta_M (f)$$

for $f=f_\alpha$ if $M$ is the largest integer of the form $2^k$ with $M\le N$. Suppose such $M$ can be represented as $M=2^p$. Then from our calculation of the Fourier series $a_n$ of $f$, we get

\begin{align*}
    \Delta_M(f)&=2\sum_{k\le p+1}\left(1-\frac{2^k}{2^{p+1}}\right) 2^{-k\alpha}e^{i2^k x}-\sum_{k\le p}\left(1-\frac{2^k}{2^p}\right) 2^{-k\alpha}e^{i2^k x}\\
    &=2\left(1-\frac{2^p}{2^{p+1}}\right)2^{-p\alpha}e^{i2^p x}+\sum_{k<p}\left(\left(2-\frac{2^k}{2^p}\right)-\left(1-\frac{2^k}{2^p}\right)\right)2^{-k\alpha}e^{i2^k x}\\
    &=2^{-p\alpha}e^{i2^p x}+\sum_{k<p}2^{-k\alpha}e^{i2^k x}\\
    &=\sum_{k\le p} 2^{-k\alpha}e^{i2^k x}=\sum_{|n|\le N} a_n e^{inx}=S_N(f)
\end{align*}

Now we are ready to prove Theorem 1. Suppose $f'(x_0)$ exists for some $x_0\in [-\pi, \pi]$.

Lemma 1. Let $g$ be any continuous function that is differentiable at $x_0$. Then the Cesaro means satisfy
 
$$\sigma_N(g)'(x_0)=O(\log N)$$
 
and therefore $\Delta_N(g)'(x_0)=O(\log N)$.
 
proof. Generally, we have $(f*g)'=f'*g=f*g'$ if $f$ and $g$ are both differentiable. This is due to Leibniz's integral rule, but here we omit the proof. The proof is simple using the fact that a continuous function is uniformly bounded on the compact domain. So, we have
 
$$\sigma_N(g)'(x_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F'_N(x_0-t)g(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F'_N(t)g(x_0-t) dt $$

Since the Fejer kernel is periodic of period $2\pi$, it is obvious that

$$\int_{-\pi}^\pi F'_N(t)dt=0$$

Then we have

$$\sigma_N(g)'(x_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F'_N(t)[ g(x_0-t)-g(x_0)] dt$$

Now from hypothesis, $g'(x_0)$ exists. Then for fixed $\epsilon>0$ there exists $\delta>0$ such that

$$|t|<\delta\; \Rightarrow\; \Bigg|\frac{g(x_0-t)-g(x_0)}{t}-g'(x_0) \Bigg|<\epsilon $$

so if $|t|<\delta$ we have $|g(x_0-t)-g(x_0)|< C_1 |t|$ for some constant $C_1$. Also if $\delta\le|t|\le \pi$, since $g$ is continuous, $g$ is bounded in $[-\pi, \pi]$, say by $B$. Then

$$|g(x_0-t)-g(x_0)|\le 2B\le C_2|t|$$

for some constant $C_2$. Thus for $C=\max(C_1, C_2)$, we have

$$|g(x_0-t)-g(x_0)|\le C|t|$$

for all $t\in[-\pi, \pi]$. Then

$$|\sigma_N(g)'(x_0)|\le C\int_{-\pi}^\pi \big|F'_N(t)\big|\cdot |t| dt$$

Now observe that $F'_N$ satisfies the following two estimates :

1. $\big|F'_N(t)\big|\le AN^2$ for some constant $A$ since from

$$\sigma_N(g)=\sum_{|n|\le N}\left(1-\frac{|n|}{N}\right) a_n e^{inx}$$

we have

$$F_N(x)=\sum_{|n|\le N}\left(1-\frac{|n|}{N}\right) e^{inx}$$

Then $F_N(x)$ is a trigonometric polynomial of degree $N-1$, whose coefficients are bounded by $1$. Therefore, $F'_N$ is a trigonometric polynomial of degree $N-1$ whose coefficients are no bigger than $N$. Thus, we have

$$\big|F'_N(t)\big|\le (2N-1)N \le AN^2$$

for some constant $A$.

2. $\big|F'_N(t)\big|\le A'/|t|^2$ for some constant $A'$ since from

$$F_N(t)=\frac{1}{N}\frac{\sin^2(Nt/2)}{\sin^2(t/2)}$$

we have

$$F'_N(t)=\frac{\sin(Nt/2)\cos(Nt/2)}{\sin^2(t/2)}-\frac{1}{N}\frac{\cos(t/2)\sin^2(Nt/2)}{\sin^3(t/2)}$$

Here, we have constant $c_1$ such that $|\sin(Nt/2)|\le c_1N|t|$ for all $t$ and $c_2$ such that $|\sin(t/2)|\ge c_2|t|$ for $|t|\le \pi$. Then,

$$\big|F'_N(t)\big|\le\frac{1}{(c_2|t|)^2}+\frac{1}{N}\frac{c_1N|t|}{(c_2|t|)^3}=\frac{A'}{|t|^2}$$

Using all of these estimates, we find that

\begin{align*}
        |\sigma_N(g)'(x_0)|&\le C\int_{|t|\ge 1/N} \big|F'_N(t)\big|\cdot |t| dt+C\int_{|t|\le 1/N}\big|F'_N(t)\big|\cdot |t| dt\\
        &\le 2CA'\int_{1/N}^\pi \frac{dt}{t}+2CAN^2\int_0^{1/N} t dt\\
        &=O(\log N)+O(1)=O(\log N)
\end{align*}

Now since $\Delta_N(g)'(x_0)=2\sigma_{2N}(g)'(x_0)-\sigma_N(g)'(x_0)$ so $\Delta_N(g)'(x_0)=O(\log N)$. 증명 끝.

Now we are almost done.

Lemma 2. If $2N=2^n$, then

$$\Delta_{2N}(f)-\Delta_N(f)=2^{-n\alpha}e^{i2^nx} $$
 
proof. As we noted earlier, if $2N=2^n$ then $\Delta_{2N}(f)=S_{2N}(f)$ and $\Delta_{N}(f)=S_{N}(f)$ so

$$\Delta_{2N}(f)-\Delta_N(f)=S_{2N}(f)-S_N(f)$$

But since

$$a_n=\begin{cases}
        n^{-\alpha} & \text{if}\;\; n=2^k\;\;\text{for}\;\;k=0, 1, 2, \cdots \\
        0 & \text{otherwise}
\end{cases}$$

we have

$$S_{2N}(f)-S_N(f)=a_{2N}e^{i 2Nx}=2^{-n\alpha}e^{i2^n x}$$
 
증명 끝.

Then from the first lemma, we have

$$\Delta_{2N}(f)'-\Delta_N(f)'=O(\log N)$$

but

$$\big|\Delta_{2N}(f)'-\Delta_N(f)'\big|=2^{n(1-\alpha)}$$

From $2N=2^n$, we have $2^{n(1-\alpha)}\ge N^{1-\alpha}$. However, if $0<\alpha<1$ then $N^{1-\alpha}$ grows faster than $\log N$ so this is a contradiction. Hence, $f=f_\alpha$ is nowhere differentiable function. Note, when $\alpha>1$ the function $f_\alpha$ is continuously differentiable since the series can be differentiated term by term. Finally, the nowhere differentiability we have proved for $\alpha<1$ can be extended to $\alpha=1$ by a suitable refinement of the argument.

Also note that this function $f_\alpha$ is complex-valued so the nowhere differentiability of $f_\alpha$ does not imply the same property for its real and imaginary parts. However, a small modification of our proof shows that the real part of $f_\alpha$, as well as its imaginary part, are both nowhere differentiable. To see this, check [1], p.118.

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참고 문헌
[1] Stein, Elias M., Shakarchi, Rami 2003. Fourier Analysis. Princeton University Press.