[Fourier Analysis] The Heisenberg uncertainty principle / 하이젠베르크 불확정성 원리

참고문헌 : Stein, Elias M., Shakarchi, Rami 2003. Fourier Analysis. Princeton University Press.

 

Stein 해석학 시리즈 1권 [Fourier Analysis] 5단원 Fourier Transfrom on R을 공부한 내용을 TeX으로 적어 정리하는 김에 블로그에도 글을 옮겨 적는다. 책의 내용 중 보충설명이 필요한 부분 그리고 증명을 생략하고 연습문제로 넘긴 명제들 중 일부를 함께 설명하였다. 본문은 PC에 최적화되어있다.

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4. The Heisenberg uncertainty principle

Theorem 1. Suppose $\psi$ is a function in $\mathcal{S}$ which satisfies the normalizing condition

    $$\|\psi\|^2=\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx=1$$

then

    $$\left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2|\psi(x)|^2 dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} \xi^2|\hat{\psi}(\xi)|^2 d\xi \right)\ge \frac{1}{16\pi^2}$$

and equality holds if and only if $\psi(x)=Ae^{-Bx^2}$ where $B>0$ and $A^2=\sqrt{2B/\pi}$. In fact, we have

    $$\left(\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_0)^2|\psi(x)|^2 dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} (\xi-\xi_0)^2|\hat{\psi}(\xi)|^2 d\xi \right)\ge \frac{1}{16\pi^2}$$

for every $x_0, \xi_0\in\mathbb{R}$.

proof. We begin from the normalizing assumption $\int|\psi|^2=1$. Note that $\psi\in\mathcal{S}$ implies $\psi'\in\mathcal{S}$. Then integration by parts gives

    \begin{align*}
        1&=\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx\\
        &=\Big[x\cdot|\psi(x)|^2\Big]^\infty_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\frac{d}{dx}|\psi(x)|^2 dx\\
        &=-\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\frac{d}{dx}\psi(x)\overline{\psi(x)} dx\\
        &=-\int_{-\infty}^{\infty}\left(x\psi'(x)\overline{\psi(x)}+x\psi(x)\overline{\psi'(x)}\right) dx
    \end{align*}

since $x|\psi(x)|^2 \to 0$ as $|x|\to\infty$ from $\psi\in\mathcal{S}$. Now we get

    \begin{align*}
        1&\le 2\int_{-\infty}^{\infty}|x||\psi(x)||\psi'(x)| dx\\
        &\le 2\left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2|\psi(x)|^2 dx\right)^{1/2} \left(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi'(x)|^2 | dx\right)^{1/2}
    \end{align*}

from the Cauchy-Schwartz inequality for the integral. Note we have $\psi'(x) \longrightarrow 2\pi i\xi\hat{f}(\xi)$ from the property of the Fourier transform. Then by the Plancherel's theorem we have

    $$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi'(x)|^2 dx=4\pi^2\int_{-\infty}^{\infty} \xi^2|\hat{\psi}(\xi)|^2 d\xi$$

Then we conclude

    \begin{align*}
        \left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2|\psi(x)|^2 dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi'(x)|^2 dx \right)&=4\pi^2\left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2|\psi(x)|^2 dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} \xi^2|\hat{\psi}(\xi)|^2 d\xi \right)\ge \frac{1}{4}
    \end{align*}

and this proves the first inequality. The second inequality follows from the first by replacing $\psi(x)$ by $e^{-2\pi ix\xi_0}\psi(x+x_0)$ and changing variables. Here, $e^{-2\pi ix\xi_0}\psi(x+x_0)\in\mathcal{S}$ and satisfies the normalizing condition. Also note that $e^{-2\pi ix\xi_0}\psi(x+x_0)\longrightarrow e^{2\pi ix_0(\xi+\xi_0)}\hat{\psi}(\xi+\xi_0)$ hence we get the desired inequality.

If the equality holds, then we must also have quality where we applied the Cauchy-Schwartz inequality and as a result we find that

    $$\psi'(x)=\beta x\psi(x)$$

for some constant $\beta$. The solutions to this differential equation are

    $$\psi(x)=Ae^{\beta x^2/2}$$

where $A$ is constant. For $\psi$ to be a Schwartz function, $\beta=-2B<0$ and from the normalizing condition $\int|\psi|^2=1$ we get $A^2=\sqrt{2B/\pi}$. This completes the proof.

As we have mentioned earlier, Theorem 1. illustrates that a function and its Fourier transform cannot both be essentially concentrated. The precise assertion contained in Theorem 1. first came to light in the study of quantum mechanics. It arose when one considered the extent to which one could simultaneously locate the position and momentum of a particle. For the Planck's constant $\hbar$, Theorem 1. 's physical conclusion is

$$(\text{uncertainty of position})\times(\text{uncertainty of momentum}) \ge \frac{\hbar}{16\pi^2}$$

And this principle is called the Heisenberg's uncertainty principle.

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Theorem 1.을 물리적으로 해석하면 하이젠베르크의 불확정성 원리와 같은 결과를 얻을 수 있다고 하는데, 그 물리적 해석까지는 아직 잘 모르겠다. 알아본 바로는 입자 공간에서의 파동함수와 운동량 공간에서의 파동함수가 서로 푸리에 변환 관계에 있기 때문에 이 정리로부터 불확정성 원리를 얻을 수 있다고 하는데, 물리를 전공한 사람이라면 이걸 바로 파악할 수 있을지도 모르겠다.

 

내가 알고 있었던 불확정성 원리의 증명은 입자의 위치와 운동량에 대한 행렬을 구한 뒤 적당한 연산자를 통해 이루어지는 것이었는데, 푸리에 변환을 통해서도 불확적성 원리를 수학적으로 이해할 수 있다는게 신기하다.