[현대대수학] 5. 순환부분군과 순환군

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]
 
 저번 포스팅에서 위수가 4인 군 $V_1$의 proper subgroup $H$를 찾는 과정을 떠올려보자. 그러한 $H$는 반드시 항등원 $e$를 가지고 있어야 하고, 그것만으로는 proper subgroup이 되지 않기 때문에 $a, b, c$ 각각이 $H$의 원소인 상황을 검토하였다. 그 중에서도 $a\in H$인 경우에는, $V_1$의 연산표(group table)로부터

$$H=\left\{e, a, a*a, a*a*a, \cdots \right\}=\left\{e, a\right\}$$
 
임을 얻었다. 이렇게 되는 이유는 임의의 군 $G$에 대해 집합 $G$의 부분집합인 $H$가 부분군이 되기 위한 필요충분조건으로부터 $a\in H\Rightarrow a*a\in H, a*a\in H\Rightarrow (a*a)*a\in H, \cdots$이기 때문이었다.
 
 $a*a$를 간단히 $a^2$으로, $a*a*a$를 간단히 $a^3$으로, $\cdots$ 표기하기로 하자. 그러면 $a$를 한 원소로 갖는 부분군 $H\leqslant G$는 임의의 자연수 $n$에 대해 $a^n$을 원소로 가져야 한다. $H$가 부분군이므로, 역원이 존재하여 $a^n\in H\Rightarrow a^{-n}\in H$여야 한다. 이때, $H$의 항등원을 $e=a^0\in H$으로 정하면 정수 $n, m$에 대해
 
$$\forall a^n, a^m\in H, a^n a^m=a^{n+m}$$
 
이 성립한다. 여기서 곱과 합은 우리가 일반적으로 받아들이고 있는 곱과 합이라고 이해해도 되는데, 이는 연산을 어떻게 정의하더라도 '우리가 일반적으로 받아들이고 있는 곱과 합'과의 동형사상이 존재하기 때문이다. 이 포스팅의 마지막 부분에는 그에 관련된 정리와 증명이 있다.
 
 이렇게 정의된 $H$는 '아마도' $a$를 포함하는 가장 작은 군이 될 것이라고 예상해 볼 수 있을 것이다. 이에 대해 설명하는 것이 바로 순환부분군과 순환군이다. 이번 포스팅에서는 순환군이 무엇인지에 대해 알아보고, 위수가 같은 모든 순환군은 결국 서로 동형임을 보일 것이다.
 
1. 순환부분군과 순환군
Thm1. 군 $G$가 주어져있다고 하자. 그러면
 
$$H=\left\{a^n\;|\;n\in\mathbb{Z}\right\}$$
 
는 $G$의 부분군이면서, $a\in G$를 포함하는 가장 작은 부분군이다. 즉, $a$를 포함하는 $G$의 모든 부분군은 $H$를 포함한다.
$proof$ 먼저 $H$가 부분군임을 보이자. $H$가 연산에 대해 닫혀있음은 명백하다. $H$는 항등원 $e=a^0$를 가지고 있다. 임의의 정수 $n$에 대해, $a^n\in H \Rightarrow a^{-n}\in H$이므로 항상 역원을 가진다. 따라서 $H$는 $G$의 부분군이다. $H$가 $a\in G$를 포함하는 가장 작은 부분군임은 명백하다. 더 이상 할 말이 없다.
 
Def. 이러한 $G$의 부분군 $H$를 $a$를 생성원으로 하는 $G$의 순환부분군(the cyclic subgroup of $G$ generated by $a$)이라고 한다. 이를 간단히
 
$$H=\left\langle a \right\rangle$$
 
로 쓴다.
 
Def. 군 $G$에 대해, $G=\left\langle a \right\rangle$인 $a\in G$가 존재하면 $G$를 순환군(cyclic group)이라고 하고 $a$를 $G$의 생성원이라고 한다.
 
 예를 들어, 위 사진의 $V_2$에서
 
$$\left\langle b \right\rangle=\left\{b^0=e, b, b^2=a, b^3=c, b^4=e, b^5=b, \cdots\right\}=V_2$$
 
이므로 $V_2$는 $b$를 생성원으로 하는 순환군이다. 똑같이 계산해보면 알겠지만, $c$역시 $V_2$의 생성원이다. 즉,
 
$$V_2=\left\langle b\right\rangle=\left\langle c\right\rangle$$
 
이 성립한다.
 
 이 예시에서 확인할 수 있듯, 순환군 $V=\left\langle b\right\rangle$이 유한하면 그 위수(order)가 $n$일 때 $b^m=e$가 되는 최소의 자연수 $m=n$이다. 반대로 순환군 $V=\left\langle b\right\rangle$에 대해 $b^m=e$가 되는 최소의 자연수 $m=n$을 순환군의 위수로 정한다. 위수가 유한한 순환군을 유한순환군(finite cyclic group)이라 하고, 위수가 무한한 순환군을 무한순환군(infinite cyclic group)이라고 한다.
 
2. 몇가지 성질들
Thm2. 모든 순환군은 가환군(abelian)이다.
$proof$ $G=\left\langle a\right\rangle$이라 하자. 정수 $n, m$에 대해
 
$$a^n a^m=a^{n+m}=a^{m+n}=a^m a^n$$
 
이므로 $G$는 가환군이다.
 
Thm3. 순환군의 부분군은 또한 순환군이다.
$proof$ $G=\left\langle a\right\rangle$이라 하자. $G$의 부분군 $H\leqslant G$를 생각하자. $H=\left\{e\right\}$라면 당연히 순환군이므로, $e$가 아닌 다른 $G$의 원소를 가진다고 해보자. 그렇다면 $a^r\in H$를 다음 조건을 만족하도록 선택할 수 있다.
 
$$r\in\mathbb{N} : a^s\in H\Rightarrow s\ge r$$
 
즉, $H$의 원소 중 윗첨자가 자연수이면서 가장 작은 것을 $a^r$로 정하는 것이다. $H$가 순환군임을 보이고 싶다면 다음 Claim을 증명하는 것이 우리의 목표가 된다.
 
Claim: $H=\left\langle a^r\right\rangle$
 
(i) $H\geqslant \left\langle a^r\right\rangle$: $a^r\in H$에서 $\left\langle a^r\right\rangle$가 $H$의 순환부분군이므로 명백하다.
(ii) $H\leqslant \left\langle a^r\right\rangle$: 아니라고 가정하여 귀류법을 사용하자. 그렇다면 $\exists s\in Z \;\mbox{s.t.}\; a^s\in H$이지만 $a^s\notin \left\langle a^r\right\rangle$이다. 정수 $q$와 $t\in \left\{1, 2, \cdots, r-1\right\}$에 대해 $s=r\cdot q+t$로 나타낼 수 있음을 떠올리자. 그러면 $a^s\in H$이고 $a^r\in H\Rightarrow a^{r\cdot q}\in H$이므로 $a^t=a^s a^{-r\cdot q}\in H$여야 한다. 그런데 $t\in \left\{1, 2, \cdots, r-1\right\}$이므로 $t<r$이고, 이는 가정에 모순이다.
 
따라서 $H=\left\langle a^r\right\rangle$가 성립한다.
 
ex) $(\mathbb{Z}, +)=\left\langle 1\right\rangle$이므로 순환군이다. $n\mathbb{Z}:=\left\{nz\;|\;z\in \mathbb{Z}\right\}$로 정의하면 $(n\mathbb{Z}, +)=\left\langle n\right\rangle$은 $(\mathbb{Z}, +)=\left\langle 1\right\rangle$의 부분군이다. Thm3에 의하면 오직 $n\mathbb{Z}$만이 $\mathbb{Z}$의 부분군이 된다는 것을 알 수 있다. 이 예시를 통해 우리는 군의 언어로 최대공약수를 정의할 수 있다. 여기에서 다루기에는 글이 너무 길어지니, 다음 포스팅으로 넘기도록 하겠다.
 
3. 순환군의 구조(Structure of the Cyclic Group)
 이 포스팅에서 순환군에 대해 본격적으로 설명하기 전에, 서론에서 '원소의 개수가 같은 순환군은 모두 동형이다'라는 것을 언급하였다.
 
 $a*a$를 간단히 $a^2$으로, $a*a*a$를 간단히 $a^3$으로, $\cdots$ 표기할 수 있는 것도, $e=a^0$를 항등원으로 잡을 수 있는 것도, 우리가 일반적으로 알고 있는 곱셈과 덧셈으로 $\forall a^n, a^m\in H, a^n a^m=a^{n+m}$를 이해할 수 있는 것도 결국에는 원소의 개수가 같은 순환군은 모두 동형이기 때문이다.
 
 정확한 statement는 다음과 같다.
 
Thm4. 순환군 $G$에 대해, 그 위에 이항연산 $*$이 주어졌다고 하자.
 
(i) $|G|=\infty\;\Rightarrow\; (G, *)\simeq(\mathbb{Z}, +)$이다.
(ii) $|G|=n\;\Rightarrow\; (G, *)\simeq(\mathbb{Z}_n, +_n)$이다.
 
여기서 $\mathbb{Z}_n:=\left\{0, 1, 2\cdots, n-1\right\}$이며, $+_n$은 다음과 같이 정의되는 연산이다.
 
$$\forall i, j\in\mathbb{Z}_n,\; i+_n j=\begin{cases}i+j&\mbox{if}\;i+j<n\\ i+j-n&\mbox{if}\; i+j\ge n\end{cases}$$
$proof$ $G=\left\langle a\right\rangle$이라 하자.
 
(i) $(G, *)\simeq(\mathbb{Z}, +)$임을 보이기 위해서는 $G$에서 $\mathbb{Z}$로의 동형사상을 찾아주면 된다. 사상 $\phi : G\rightarrow \mathbb{Z}$에 대해, $\phi(a^n)=n$이 성립한다고 하자. 그러면 우리가 확인해야 할 것은, 사상 $\phi$가 잘 정의되었는지(well-defined)와 동형사상성질을 만족하는지이다.
 
 $\phi$가 잘 정의되었다는 것은 $G$의 임의의 원소 $a^n$이 오직 하나의 정수 $n$으로만 대응된다는 것이다.  $|G|=\infty$이므로 $a^m=e$인 자연수 $m$이 존재할 수 없다. 이를 통해 $G$의 임의의 원소는 오직 하나의 정수로만 대응됨을 보일 수 있다. 귀류법을 통해 증명해보자. $G$의 원소 $a^h=a^k$에 대해, 이 원소가 서로 다른 정수 $h\ne k$로 대응된다고 생각해보자. 일반성을 잃지 않고, $h>k$라 해도 된다. 그러면 $a^h a^{-k}=a^{h-k}=e$이고, 이는 모순이다. 따라서 $G$의 모든 원소는 오직 하나의 정수로만 대응된다.
 
 $\phi$가 동형사상성질을 만족하는지 보이려면 그것이 일대일대응(1-1 and onto)이면서
 
$$\phi(a^n*a^m)=\phi(a^n)+\phi(a^m)$$
 
을 만족하는지 보이면 된다. $\phi(a^n*a^m)=n+m=\phi(a^n)+\phi(a^m)$임은 정의에서 성립하고, $\phi(a^n)=n$이므로 일대일대응임도 곧바로 확인할 수 있다. 따라서 $\phi : G\rightarrow \mathbb{Z}$는 동형사상이고,
 
$$(G, *)\simeq(\mathbb{Z}, +)$$
 
이다.
 
(ii) $(G, *)\simeq(\mathbb{Z}_n, +_n)$임을 보이기 위해서 역시 다음 사상 $\phi_n : G\rightarrow \mathbb{Z}_n$에 대해, $\phi_n(a^k)=k$가 성립한다고 하자. 그러면 여기에서도 마찬가지로 사상 $\phi_n$이 잘 정의되었는지 그리고 그것이 동형사상성질을 만족하는지 확인해주면 된다.
 
 $|G|=n$이므로 $n$은 $a^n=e$를 만족시키는 최소의 자연수이다. 우리는 $\phi_n$이 잘 정의되었다는 것을 보이고 싶다. 이를 위해서 $\mathbb{Z}_n:=\left\{0, 1, 2\cdots, n-1\right\}$에 대해 $G=\left\{a^0=e, a^1, a^2, \cdots, a^{n-1}\right\}$임을 보여주면 $G$의 모든 원소가 오직 하나의 $\mathbb{Z}_n$의 정수로 대응되는 것이니 곧 $\phi_n$이 잘 정의되었다는 것을 의미한다.
 
 $G=\left\langle a\right\rangle=\left\{\cdots, a^{-1}, a^0, a^1, \cdots \right\}$에서 임의의 $s\in\mathbb{Z}$는 $t\in\mathbb{Z}_n$에 대해 $s=n\cdot q+t$로 나타낼 수 있다. 그러면 $a^s=a^{nq} a^t=e^q a^t=a^t$이므로 $G=\left\{a^0=e, a^1, a^2, \cdots, a^{n-1}\right\}$이다.
 
 이제 $\phi_n$이 일대일대응임은 $\phi_n(a^k)=k$임에서 곧바로 확인할 수 있고, $\phi_n(a^n a^m)=\phi_n(a^n)+_n \phi_n(a^m)$임은 $+_n$의 정의에서 참이다. 따라서 $\phi_n : G\rightarrow \mathbb{Z}_n$은 동형사상이고,
 
$$(G, *)\simeq(\mathbb{Z}_n, +_n)$$
 
이다.
 
 Thm4가 의미하는 것은, 결국 모든 순환군을 덧셈에 대한 정수 집합 $\mathbb{Z}_n$ 혹은 $\mathbb{Z}$의 군으로 이해해도 좋다는 것이다. 이런 관점에서 본다면 Thm2, Thm3을 더 쉽게 받아들일 수 있고 동시에 순환군에 관련된 문제를 해결할 때 더 좋은 insight를 가지게 될 수 있다.

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 이번 포스팅에서는 순환군에 대해 공부하였습니다. 원래는 이 포스팅 하나로 순환군 부분을 마무리하려 하였으나, 생각보다 양이 많아질 것 같아 포스팅 두 개로 쪼개어 쓰려고 합니다. 그래도 다음 포스팅은 양이 더 적을 것 같습니다. 다음 포스팅에서는 순환군을 이용하여 최대공약수를 정의하고, 유한순환군의 부분군과 최대공약수의 관계에 대해 알아보려고 합니다.
 
 이제 슬슬 헷갈리는 것이 많아지고 있습니다. 나름대로 공부한 내용을 정리하기 위해 글을 쓰고 있는 것이라, 오류가 있을 수 있습니다. 지적해주시면 감사하겠습니다.