[현대대수학] 4. Group table과 부분군

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.]

 

본래 군에 대해 소개한 후 곧이어 부분군(subgroup)에 대한 포스팅을 작성하려고 하였으나 group table이 앞으로의 논의에서 상당히 자주 사용될 예정이므로, 먼저 알아보도록 한다.

 

1. Group Table

 달리 번역할 말이 없어 원어를 그대로 옮겨놓은 group table은 군을 구성하는 집합 $G$의 원소들이 연산 $*$에 의해 무엇으로 대응되는지를 적어놓은 표이다. 아래의 8.8 Table은 그 한 예시이다.

[A F irst Course in Abstract Algebra](J. Fraleigh), 79p

 군 $(S_3, \circ)$에서 $S_3=\left\{\rho_0, \rho_1, \rho_2, \mu_1, \mu_2, \mu_3 \right\}$으로 원소의 이름을 붙일 때 8.8 Table은 연산 $\circ$에 의해 $S_3$의 각 원소들이 무엇으로 대응되는지를 한 눈에 볼 수 있게 해준다. group table을 작성하는 이유는 그것이 시각적으로 보기 편하기 때문인데, 쉽게 생각할 수 있겠지만 group table은 유한군에 대해서만 작성하게 된다.

 

 group table을 작성할 때의 약속은 $m$행 $n$열의 원소는 $m$번째 행의 원소와 $n$번째 열의 원소의 그 순서대로의 연산으로 정해져야 한다는 것이다. 예를 들어 위의 8.8 Table에서 3행 4열의 원소는 $\mu_2$인데, 이는 3행의 원소 $\rho_2$와 4열의 원소 $\mu_1$에 대해

 

$$\mu_2=\rho_2*\mu_1$$

 

임을 의미한다. $S_3$는 가환군이 아니기 때문에, 연산의 순서에 주의해주어야 한다. 이 예시에서뿐 아니라 앞으로의 모든 경우에서 지켜야 하는 약속이다.

 

 유한군에 대해서 실제로 group table을 작성할 때에는 하나의 행 혹은 하나의 열에 있는 entry들은 반드시 모두 다르게 배치해야 함에 주의해야 한다. 이는 군 $G$에서 왼쪽방향의 소거법칙과 오른쪽방향의 소거법칙이 모두 성립하기 때문인데, 간단히 그림으로 나타내면 아래와 같다.

 이를 통해 group table의 한 행 또는 한 열은 permutation을 이루고 있다는 것을 알 수 있는데, 이는 추후 Cayley's Theorem을 직관적으로 이해할 수 있는 예시가 된다. permutation과 Caley's Theorem에 대해서는 추후에 포스팅이 올라갈 예정이다. 굳이 group table을 소개하는데에 지면을 할애한 것은 이 때문이었다.

 

2. Subgroup

 필자는 수학을 본격적으로 공부하기 시작한 것은 얼마 되지 않은 학생이지만, 학부 수학을 공부하다보면 교재에 항상 routine process가 있다고 느낀다. Motivation-Definition-Theorem-Proof-Example으로 이어지는 교재의 구조를 말하는 것이 아니라-물론 이것도 일종의 routine이겠지만-어떤 개념을 소개한 뒤에는 항상 그것의 'sub' 개념을 탐구하는 것이 필자에게는 일종의 '수학에서의 routine'으로 다가왔다. 필자는 특정한 수학적 개념을 정의한 뒤에는 그것의 부분집합 중 그 정의를 만족하는 것을 (있다면) 찾는 것이 수학에 있어서는 꼭 필요한 것이라고 받아들이고 있다.

 

 부분군 역시 그러한 차원에서 이해하면 된다.

 

Def. 군 $(G, *)$가 주어졌다고 하자. 집합 $G$의 어느 부분집합 $H$가 주어졌을 때, $(H, *|_{H\times H})$가 군이라면 $H$를 $G$의 부분군(subgroup)이라고 부른다. 이것을 간단히

 

$$H\leqslant G$$

 

로 나타내기로 하자.

 

 연산 $*$의 $H$에 대한 제한 $*|_{H\times H}$가 무엇인지는 첫 번째 포스팅에서 다루었다.

 

 부분군의 정의에서, 다음 예시를 쉽게 생각할 수 있다. $+$의 각 집합에 대한 제한은 써주어야 하지만, 아래처럼 오해의 소지가 없을 때는 생략하는 것이 편하다.

 

$$(\mathbb{R}, +)\geqslant (\mathbb{Q}, +)\geqslant (\mathbb{Z}, +)\geqslant (\mathbb{N}, +)$$

 

Def. 군 $G$에 대해, $G$는 그 자신의 improper subgroup이라고 한다.

 

Def. 군 $G$에 대해, $e\in G$가 항등원이라고 하자. 그러면 $\left\{e\right\}\leqslant G$가 성립하고 이때 $\left\{e\right\}$를 $G$의 trivial subgroup이라고 한다.

 

Def. 군 $G$의 한 부분군 $H$가 improper subgroup이 아니고 동시에 trivial subgroup도 아니면, $H$를 proper subgroup이라고 한다.

 

 $|V|=4$인 군을 생각해보자. 이 경우 $|V|$가 충분히 작으므로, group table을 그리는 것은 $V$를 이해하는데 있어 매우 유용하다. 동형인 군을 고려하면 $V$의 원소의 '이름'은 중요하지 않으므로, 간단하게 $V=\left\{e, a, b, c\right\}$라 하자. $e$를 항등원이라고 하면, 위수가 4인 군을 동형을 고려하여(up to isomorphism) 배치하는 경우의 수는 다음 두 가지 경우만 존재한다. 증명은 유한아벨군의 기본정리(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Group)을 공부한 뒤에 할 수 있다. 이후 포스팅에서 예제로 다룰 생각이다.

$V_1$의 경우

 proper subgroup $H$를 찾아보자. 모든 proper subgroup은 기본적으로 항등원을 가지고 있어야 하므로, 반드시 $e\in H$이다. 그러니 $a, b, c$가 각각 포함되는 상황을 생각해보자.

 

(i) $a\in H$이면

 

$$H=\left\{e, a, a*a, a*a*a, \cdots \right\}=\left\{e, a\right\}$$

 

이므로 $H_1=\left\{e, a\right\}\leqslant V_1$이다.

 

(ii) $b\in H$이면

 

$$H=\left\{e, b, b*b, b*b*b, \cdots \right\}=\left\{e, b\right\}$$

 

이므로 $H_2=\left\{e, b\right\}\leqslant V_1$이다.

 

(iii) $c\in H$이면

 

$$H=\left\{e, c, c*c, c*c*c, \cdots \right\}=\left\{e, c\right\}$$

 

이므로 $H_3=\left\{e, c\right\}\leqslant V_1$이다.

 

 그러면 오직 $H_1, H_2, H_3$만이 $V_1$의 proper subgroup임을 알 수 있다. 이 관계를 tree로 표현한 것을 subgroup tree라고 하는데, 작성은 아래와 같이 하면 된다.

[A F irst Course in Abstract Algebra](J. Fraleigh), 52p

 $V_2$의 경우에도 같은 과정을 반복하면, $H=\left\{e, a\right\}\leqslant V_2$가 $V_2$의 유일한 proper subgroup임을 확인할 수 있다. 이 경우에도 subgroup tree를 그릴 수 있는데, 직접 그려보라.

 

 이 예시는 이 다음 포스팅에서 다룰 순환부분군과 순환군을 이해하는데 도움이 되는데, 위에서 $H_1, H_2, H_3$를 구성하는 과정에 유의하고 있기를 바란다.

 

 다음 정리는 군 $G$에 대해, $G$의 한 부분집합 $H$가 $G$의 부분군이 되기 위한 필요충분조건에 대한 정리이다. 이 정리를 마지막으로 포스팅을 마무리한다.

 

Thm. 군 $(G, *)$가 주어져있다고 하자. 임의의 부분집합 $H\subset G$에 대해, $H$가 $G$의 부분군일 필요충분조건은 다음과 같다.

(i) $H$는 연산 $*$에 대해 닫혀있다.

(ii) $e\in G$가 $G$의 항등원이라고 하자. 그러면 $e\in H$이다.

(iii) $\forall a\in H \exists a^{-1}\in H$여서, $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$를 만족한다.

 

증명은 너무나 간단하므로 적는 것은 지면의 낭비이다.

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이번 포스팅에서는 group table과 부분군에 대해 알아보았습니다. group table의 작성은 자연스럽게 Cayley's Theorem을 떠올리게 하는데, 이에 대해서는 다다음 혹은 다다다음 편에서 다룰 것 같습니다. 다음 포스팅에서는 순환부분군과 순환군에 대해 다룰 예정입니다.

 

아직 미숙하고 배울 것이 많은 학생입니다. 오류, 오타 지적은 댓글에 남겨주시면 감사하겠습니다.