Galois Theory (1). Conjugate Isomorphism Theorem

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Galois Theory: Preview: The Main Theorem

에 이어...

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우리의 관심사가 방정식의 근임을 기억하고 있어야 한다. 체 $F$에 대해 $f(x)\in F[x]$의 근은 $F$의 원소일 수도, 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 $F=\mathbb{Q}$인 경우, $x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$의 근은 $\mathbb{Q}$안에 있지 않다.

 

이제 $F$의 한 algebraic extension field $E$에 대해 $\alpha, \beta \in E$를 생각하자. 이때 $\alpha$와 $\beta$가 '비슷한' 대수 구조적 성질을 가지는 경우가 우리의 관심사가 된다. 위의 예시에서 $\mathbb{C}$에 있는 $x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$의 두 근 $i, -i$는 $\mathbb{Q}(i)=\mathbb{Q}(-i)$를 만족하는데, 이는 $i$와 $-i$가 '비슷한' 대수 구조적 성질을 가지고 있기 때문이다.

 

이제 $\alpha, \beta \in E$에 대해 $\mathrm{irr}(\alpha, F)=\mathrm{irr}(\beta, F)$이면 $\alpha$와 $\beta$가 conjugate over $F$라고 부르자.

 

$\textbf{Theorem 1.1}$

체 $F$에 대해 $\alpha, \beta\in F$가 algebraic over $F$이고 $\mathrm{deg}(\alpha, F)=n$이라고 하자. 이때 $\Psi_{\alpha, \beta} : F(\alpha) \rightarrow F(\beta)$가 존재하여 $c\in F$에 대해 

$$\Psi_{\alpha, \beta}(c)=c,\;  \Psi_{\alpha, \beta}(\alpha)=\beta$$

인 사상 $\Psi_{\alpha, \beta}$이 isomorphism일 필요충분조건은 $\alpha$와 $\beta$가 conjugate over $F$인 것이다.

 

증명의 한 쪽은 simple extension의 구조와 First Isomorphism Theorem에 의하면 무척 자명하다. 아래 그림 한 장이면 충분하다.

Fraleigh, 'Abstract Algebra', p. 417

여기서 $\Psi_{\alpha, \beta}=\Psi_\beta\Psi_\alpha^{-1}$로 정의해주기만 하면 된다. 다른 한 쪽은 $\Psi$가 isomorphism을 가정한 뒤 $\mathrm{irr}(\alpha, F)$와 $\mathrm{irr}(\beta, F)$를 각각 생각하면^[각주:1] 된다.

 

이 정리를 통해 얻을 수 있는 중요한 통찰은 체 $F$와 $\alpha\in E$에 대해, $\alpha$가 albegraic over $F$이면 $F(\alpha)$에서 $\overline{F}$의 한 subfield로의 isomorphism $\Psi$가 존재할 때, $c\in F$에 대해 $\Psi(c)=c$이면 $\Psi(\alpha)$가 $\alpha$와 conjugate over $F$일 것이라는 점이다. 즉, isomorphism은 $F[x]$의 원소의 한 근을 다른 한 근으로 보내며, 이때 'conjugate'하게-즉 대수 구조적 성질을 보존하며 보낸다. 이 다음에 다룰 Isomorphism Extension Theorem에서 이 통찰은 무척이나 중요한 역할을 하게 된다.

 

저번에 이어 다시 한 번 강조하지만, 방정식의 근을 사상^[각주:2]의 언어로 기술한다는 아이디어는 문제 해결의 핵심이다. 우리가 궁극적으로 생각할 것은 $F$를 고정하는 $K$ 위의 automorphism의 군 $G(K/F)$의 subgroup $H$와 $H$가 고정하는 $K$의 subfield $K_H$ 사이의 대응이고, $K$가 어떤 다항식의 'normal extension field'^[각주:3]가 되도록 할 것임을 기억하고 있으면 Conjugate Isomorphism Theorem과 이 다음의 Isomorphism Extension Theorem의 중요성을 받아들일 수 있다.

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1. 서로가 서로를 나눈다는 것을 보이면 된다. 이를 위해서는 $\mathrm{irr}(\alpha, F)$ 의 근은 $\mathrm{irr}(\beta, F)$ 의 근이 되고, $\mathrm{irr}(\beta, F)$ 의 근은 $\mathrm{irr}(\alpha, F)$ 의 근이 됨을 보이면 된다. [본문으로]
2. 그 중에서도 isomorphism/automorphism [본문으로]
3. splitting field이면서 separable extension field인 확대체를 normal extension field라고 부른다. 왜 normal이라는 이름이 붙었는고 하니, Main Theorem의 성질 5번에 그 이유가 있다. 정확한 정의가 궁금하다면 검색을 추천한다. [본문으로]