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현대대수학1, 23-1학기, 서의린 교수님순환군, 모든 순환군이 Z 혹은 Zn에 대해 동형임에 대한 증명, 치환(permutation), 대칭군, S3, S4, D3, D4 그리고 케일리 정리
[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 군 Def. 이항구조 $(G, *)$가 주어져있다고 하자. 이 이항구조는 다음 세 가지를 만족할 때 군(group)이라고 부른다. (i) $*$는 결합적이다. 즉, $G$의 임의의 원소 $a, b, c$에 대하여 $(a*b)*c=a*(b*c)$가 성립한다. (ii) 항등원 $e\in G$를 가진다. (iii) 모든 $a\in G$에 대하여 $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$를 만족시키는 $a^{-1}\in G$가 존재한다. 이때 $a^{-1}$을 $a$의 역원(inverse)이라고 부른다. 편..
[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 동형사상 다음 표를 살펴보자. 우리는 3.1 Table에서 $a$를 #으로, $b$를 弗로, $c$를 &로 바꾸면 곧바로 3.2 Table을 얻을 수 있다는 것을 관찰하게 된다.(LaTeX 수식입력기의 특성 상, 달러 기호를 사용할 수가 없다. 이에 3.2 Table의 달러 기호 대신 '아닐 불'자를 썼다는 것에 유의하기를 바란다.) 그러면 과연 3.1 Table과 3.2 Table이 '같다'고 말할 수 있는가? 아니라면, 과연 '다르다'라고는 말할 수 있는가? 이들은 분명 서로 다른 집합 위의 ..
[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 이항연산(Binary Operation) 연산이란 무엇일까? 우리는 '연산'이라는 말을 들을 때 가장 먼저 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 떠올리고는 한다. 이뿐 아니라 컴퓨터가 입력된 코드를 따라 결과를 내놓는 과정을 연산을 수행한다, 라고 이야기하기도 한다. 이처럼, 우리는 연산을 무언가 계산을 수행하는 것이라고 이해하고 있다. 연산은 기본적으로 함수이다. 우리가 다룰 이항연산 $*$은 두 가지 입력 $(a, b)$를 하나의 결과값 $a*b$으로 대응하는 함수인 것이다. Def. 집합..
선형대수학1, 23-1학기, 김도형 교수님선형변환, kernel, range, dimension정리, 선형변환과 행렬의 일대일 대응
해석개론 및 연습1, 23-1학기, 서인석 교수님좌표공간-벡터공간, 내적공간, 노름공간, 열린집합, 닫힌집합, 내부, 폐포, 수열에 의한 열림과 닫힘의 정의
선형대수학1, 23-1학기, 김도형 교수님vector space: basis, replacement theorem, some corollaries, dimension에 대해서