[복소해석학] 3.0. Preface

[1]의 Chapter 3의 첫 세 개 섹션에서는 복소함수의 특이점에 대한 논의하는데, 복소함수의 특이점에 대한 분석은 [1]에서와 같이 각 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하는 방법 그리고 [2]나 [3]에서처럼 복소함수의 로랑급수 전개를 이용하는 방법이 있다. 먼저 [1]의 논의를 그대로 따라가며 세 종류의 특이점이 만족하는 성질들을 분류하고, 그 뒤 [2]와 [3]을 따라가며 복소함수의 로랑급수 전개를 증명한 뒤 로랑급수와 특이점 사이의 관계를 밝히고자 한다. 먼저, [1]에서 소개한 key-hole과 같은 toy contour, 소위 장난감 경로의 사용을 최대한 자제하기 위하여 그린 정리를 이용하여 코시 정리와 코시 적분공식을 일반화하자. 이는 명확하게 정의되지 않은 대상인 toy contour를 계속해서 언급하는 것이 앞으로의 논의에 방해가 될 수 있기 때문이다.

Theorem 1. Suppose $\Omega$ is open and bounded subset of $\mathbb{C}$ whose boundary, denoted by $\partial\Omega$, consists of finite piecewise-smooth curve and the function $f$ is holomorphic in $A$, containing the closure $\overline{\Omega}$. Then we have
    $$\int_{\partial\Omega} f(z)dz=0$$

proof. For the holomorphic function $f$ in $A$, let $u(x,y)$ and $v(x,y)$ be the real and imaginary part of $f$, respectively. Then we may write $f=u+iv$. Since $f$ is holomorphic in $A$ so $u, v$ have partial derivatives $u_x ,u_y, v_x, v_y$ in $A$ and from Cauchy-Riemann equations, we have that

$$f'=2\frac{\partial u}{\partial z}=u_x-iu_y=v_y+iv_x=u_x+iv_x=v_y-iu_y$$

from Chapter 1 of \cite{[1]}. Since $f$ is holomorphic in $A$, it is infinitely differentiable hence $f'$ is also holomorphic in $A$ thus $u_x ,u_y, v_x, v_y$ are continuous in $A$. Then $u, v$ are of $C^1$ class in $A$ so we may apply Green's theorem. Then we have
    \begin{align*}
        \int_{\partial\Omega}f(z)dz&=\int_{\partial\Omega}(u+iv)(dx+idy)\\
        &=\int_{\partial\Omega}udx-vdy+i\int_{\partial\Omega}vdx+udy\\
        &=-\iint_{\overline{\Omega}}(v_x+u_y)dxdy+i\iint_{\overline{\Omega}}(u_x-v_y)dxdy=0
    \end{align*}
also by Cauchy-Riemann equations. Thus we have a desired result.

위의 Theorem 1을 이용하면, 예를 들어 key-hole 통로의 폭 $\delta$를 줄이는 등의 논의를 도입할 필요없이, 어떠한 toy contour에 대해서도 코시 정리를 잘 적용할 수 있음을 알 수 있다. 물론 이제는 toy contour를 조각마다 매끄러운 단순폐곡선 유한개로 이루어진 곡선으로 정의할 수 있다. 이제 위 정리를 이용하여 코시 적분공식을 다음과 같이 일반화 할 수 있다.

Theorem 2. Suppose $\Omega$ is open and bounded subset of $\mathbb{C}$ whose boundary, denoted by $\partial\Omega$, consists of finite piecewise-smooth curve and the function $f$ is holomorphic in $A$, containing the closure $\overline{\Omega}$. Then we have

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta}{\zeta-z}d\zeta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\operatorname{for} z\in\Omega$$

proof. Fix $z\in\Omega$ then we may take $\epsilon>0$ such that $D_{\epsilon}(z)$ and its closure is contained in $\Omega$. Now $f(\zeta)/(\zeta-z)$ is holomorphic in a punctured space $\Omega\setminus\overline{D}_{\epsilon}(z)$ so we have

 

$$\int_{\partial(\Omega\setminus\overline{D}_{\epsilon}(z)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=0$$

 

by Theorem 1. Now consider a orientation of $\Omega\setminus\overline{D}_{\epsilon}(z)$; if $\Omega\setminus\overline{D}_{\epsilon}(z)$ is parameterized in the positive direction, it must be parameterized so that as one moves along the boundary, the interior of the boundary remains on the left. Therefore, the orientation of $\Omega$ should be CCW, while that of $\overline{D}_{\epsilon}(z)$ should be CW. Then we have
    \begin{align*}
        \int_{\partial(\Omega\setminus\overline{D}_{\epsilon}(z)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta-\int_{|\zeta-z|=\epsilon}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=0
    \end{align*}
so we have

$$\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\int_{|\zeta-z|=\epsilon}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$

 

and we know that as $\epsilon\to0$, the RHS goes to $2\pi i f(z)$ so we obtain the desired result.

증명의 마지막 문장은 Complex Analysis - Chapter 2 정리노트의 \textbf{Theorem 4.2.}를 참고하면 된다. 이제 위의 정리들을 활용하여 복소함수의 특이점에 대해 공부한다.

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[1], Stein, Elias M., Shakarachi, Rami 2003. Complex Analysis. Princeton University Press.
[2], 김영원, 계승혁. 2014. 기초복소해석. 서울대학교출판문화원.
[3], 김영원, 2023. 복소해석학 강의노트. 한빛아카데미.
[4], Rudin, Walter 1976. Principles of Mathematical Analysis 3ed. McGraw-Hill Press.
[5], Munkres, J.R., 2000. Topology 2ed. Pearson Education.