[현대대수학] Field Extension (1)

이번 포스팅은 Field Extension의 내용 중 일부입니다.

Field Extension을 정의하게 된 동기에서 시작하여, Kroneker's Thm을 증명해 F의 extension E를 얻게되는 과정을 설명합니다.

이후 자연스레 extension E의 원소를 algebraic element와 transcendental element로 구분해야 함을 설명합니다. 또, 대수학에서 습관적으로 정의하는 '가장 작은 extension field'를 설명하며 simple extrnsion을 도입합니다. simple extension을 분류하는 과정에서 alg.인지 trans.인지가 중요하게 작용함을 설명합니다.

이후 vector space의 개념을 도입해 finite extension을 소개하고, 그 basis를 특정합니다. 여기서 alg. element의 simple extension이 모두 finite extension임이 따라나옴을 알 수 있습니다.

extension의 모든 원소가 alg.인 extension field를 algebraic extension으로 정의하고 그에 딸려 나오는 여러 정리를 증명합니다.

다음 포스팅은 간단한 예시 몇 개와, finite alg. extension은 simple extension을 '쌓아올려' 얻을 수 있다는 (제 생각에는 무척) 중요한 정리를 증명합니다. 이후 algebraic closure와 finite field에 대해 논의할 것입니다.