Orthy

시험대비를 위하여 연습문제를 풀고 개념을 정리하였습니다. 오늘 시험을 봤는데, 너무 쉬워 연습한 것이 무용지물일 정도였습니다. 이제 해석개론 시험이 남아 공부를 시작하는 중입니다.

내일 있을 현대대수학 1차고사 준비를 위하여 연습문제를 몇 개 풀어보았습니다. 특히 이 과목은 연습문제에서 시험문제를 많이 출제한다고 하여 풀어본 것입니다. 수업내용을 다시 한 번 복습하면서 정리, 예시, 증명 등을 remind하려고 많이 노력하였고, 연습문제도 몇개 풀어보았으나 아직 maturity가 충분치 않아 시험이 걱정이 되는 것이 사실입니다. 시험기간이 되니 성적 걱정이 되지 않을 수 없습니다. 1학년때는 전공과목을 듣지 않았고, 수학과목은 수강하여 좋은 성적을 받았으나 깊은 수학능력을 요구하는 과목이라기보다 계산능력과 기출문제를 많이 풀어보는 것이 중요한 과목이었습니다. 본격적으로 전공과목을 듣다보니, 이미 몇년간 전공수학을 공부한, 서울대학교의 똑똑한 사람들 사이에서 제가 잘 할 수 있을지 ..

현대대수학1, 23-1학기, 서의린 교수님orbit, cycle, transposition, alternating group An

해석개론 및 연습1, 23-1학기, 서인석 교수님볼차노-바이어슈트라스 정리, 부분수열, 유계수열이면 수렴하는 부분수열 존재성 증명, 코시수열, 코시수렴정리, limsup, liminf

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 저번 포스팅에서 위수가 4인 군 $V_1$의 proper subgroup $H$를 찾는 과정을 떠올려보자. 그러한 $H$는 반드시 항등원 $e$를 가지고 있어야 하고, 그것만으로는 proper subgroup이 되지 않기 때문에 $a, b, c$ 각각이 $H$의 원소인 상황을 검토하였다. 그 중에서도 $a\in H$인 경우에는, $V_1$의 연산표(group table)로부터 $$H=\left\{e, a, a*a, a*a*a, \cdots \right\}=\left\{e, a\right\}$$ 임을 얻..

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 본래 군에 대해 소개한 후 곧이어 부분군(subgroup)에 대한 포스팅을 작성하려고 하였으나 group table이 앞으로의 논의에서 상당히 자주 사용될 예정이므로, 먼저 알아보도록 한다. 1. Group Table 달리 번역할 말이 없어 원어를 그대로 옮겨놓은 group table은 군을 구성하는 집합 $G$의 원소들이 연산 $*$에 의해 무엇으로 대응되는지를 적어놓은 표이다. 아래의 8.8 Table은 그 한 예시이다. 군 $(S_3, \circ)$에서 $S_3=\left\{\rho_0, \rho..

현대대수학1, 23-1학기, 서의린 교수님순환군, 모든 순환군이 Z 혹은 Zn에 대해 동형임에 대한 증명, 치환(permutation), 대칭군, S3, S4, D3, D4 그리고 케일리 정리

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 군 Def. 이항구조 $(G, *)$가 주어져있다고 하자. 이 이항구조는 다음 세 가지를 만족할 때 군(group)이라고 부른다. (i) $*$는 결합적이다. 즉, $G$의 임의의 원소 $a, b, c$에 대하여 $(a*b)*c=a*(b*c)$가 성립한다. (ii) 항등원 $e\in G$를 가진다. (iii) 모든 $a\in G$에 대하여 $a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$를 만족시키는 $a^{-1}\in G$가 존재한다. 이때 $a^{-1}$을 $a$의 역원(inverse)이라고 부른다. 편..

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 동형사상 다음 표를 살펴보자. 우리는 3.1 Table에서 $a$를 #으로, $b$를 弗로, $c$를 &로 바꾸면 곧바로 3.2 Table을 얻을 수 있다는 것을 관찰하게 된다.(LaTeX 수식입력기의 특성 상, 달러 기호를 사용할 수가 없다. 이에 3.2 Table의 달러 기호 대신 '아닐 불'자를 썼다는 것에 유의하기를 바란다.) 그러면 과연 3.1 Table과 3.2 Table이 '같다'고 말할 수 있는가? 아니라면, 과연 '다르다'라고는 말할 수 있는가? 이들은 분명 서로 다른 집합 위의 ..

[본 포스팅은 John Fraleigh의 'A First Course in Abstract Algebra'와 서울대학교 23-1학기 '현대대수학1'(서의린 교수님) 강의를 참고하여 만들어진 포스팅입니다.] 1. 이항연산(Binary Operation) 연산이란 무엇일까? 우리는 '연산'이라는 말을 들을 때 가장 먼저 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 떠올리고는 한다. 이뿐 아니라 컴퓨터가 입력된 코드를 따라 결과를 내놓는 과정을 연산을 수행한다, 라고 이야기하기도 한다. 이처럼, 우리는 연산을 무언가 계산을 수행하는 것이라고 이해하고 있다. 연산은 기본적으로 함수이다. 우리가 다룰 이항연산 $*$은 두 가지 입력 $(a, b)$를 하나의 결과값 $a*b$으로 대응하는 함수인 것이다. Def. 집합..